Polinômios

24/09/2013 16:37

Um polinômio (função polinomial) com coeficientes reais na variável x é uma função matemática f:RR definida por:

p(x) = a_o + a₁x + a₂x² + a₃x³ +...+ a_nxⁿ

onde a_o, a₁, a₂, ..., a_n são números reais, denominados coeficientes do polinômio. O coeficiente a_o é o termo constante.

Se os coeficientes são números inteiros, o polinômio é denominado polinômio inteiro em x.

Uma das funções polinomiais mais importantes é f:RR definida por:

f(x) = a x² + b x + c

O gráfico desta função é a curva plana denominada parábola, que tem algumas características utilizadas em estudos de Cinemática, radares, antenas parabólicas e faróis de carros. Ver o link A função quadrática nesta mesma página para entender a importância da função polinomial quadrática.

O valor numérico de um polinômio p=p(x) em x=a é obtido pela substituição de x pelo número a, para obter p(a).

Exemplo: O valor numérico de p(x)=2x²+7x-12 para x=3 é dado por:

p(3) = 2×(3)²+7×3-12 = 2×9+21-12 = 18+9 = 27

Grau de um polinômio

Em um polinômio, o termo de mais alto grau que possui um coeficiente não nulo é chamado termo dominante e o coeficiente deste termo é o coeficiente do termo dominante. O grau de um polinômio p=p(x) não nulo, é o expoente de seu termo dominante, que aqui será denotado por gr(p).

Acerca do grau de um polinômio, existem várias observações importantes:

1. Um polinômio nulo não tem grau uma vez que não possui termo dominante. Em estudos mais avançados, define-se o grau de um polinômio nulo mas não o faremos aqui.

2. Se o coeficiente do termo dominante de um polinômio for igual a 1, o polinômio será chamado mônico.

3. Um polinômio pode ser ordenado segundo as suas potências em ordem crescente ou decrescente.

4. Quando existir um ou mais coeficientes nulos, o polinômio será dito incompleto.

5. Se o grau de um polinômio incompleto for n, o número de termos deste polinômio será menor do que n+1.

6. Um polinômio será completo quando possuir todas as potências consecutivas desde o grau mais alto até o termo constante.

7. Se o grau de um polinômio completo for n, o número de termos deste polinômio será exatamente n+1.

É comum usar apenas uma letra p para representar a função polinomial p=p(x) e P[x] o conjunto de todos os polinômios reais em x.

Igualdade de polinômios

Os polinomios p e q em P[x], definidos por:

p(x) = a_o + a₁x + a₂x² + a₃x³ +...+ a_nxⁿ
q(x) = b_o + b₁x + b₂x² + b₃x³ +...+ b_nxⁿ

são iguais se, e somente se, para todo k=0,1,2,3,...,n:

a_k=b_k

Teorema: Uma condição necessária e suficiente para que um polinômio inteiro seja identicamente nulo é que todos os seus coeficientes sejam nulos.

Assim, um polinômio:

p(x) = a_o + a₁x + a₂x² + a₃x³ +...+ a_nxⁿ

será nulo se, e somente se, para todo k=0,1,2,3,...,n:

a_k= 0

O polinômio nulo é denotado por p_o=0 em P[x].

O polinômio unidade (identidade para o produto) p₁=1 em P[x], é o polinômio:

p(x) = a_o + a₁x + a₂x² + a₃x³ + ...+ a_nxⁿ

tal que a_o=1 e a_k=0, para todo k=1,2,3,...,n.

Soma de polinômios

Consideremos p e q polinômios em P[x], definidos por:

p(x) = a_o + a₁x + a₂x² + a₃x³ +... + a_nxⁿ
q(x) = b_o + b₁x + b₂x² + b₃x³ +... + b_nxⁿ

Definimos a soma de p e q, por:

(p+q)(x) = (a_o+b_o)+(a₁+b₁)x+(a₂+b₂)x²+...+(a_n+b_n)xⁿ

A estrutura matemática (P[x],+) formada pelo conjunto de todos os polinômios com a soma definida acima, possui algumas propriedades:

Associativa: Quaisquer que sejam p, q, r em P[x], tem-se que:

(p + q) + r = p + (q + r)

Comutativa: Quaisquer que sejam p, q em P[x], tem-se que:

p + q = q + p

Elemento neutro: Existe um polinômio p_o(x)=0 tal que

p_o + p = p

qualquer que seja p em P[x].

Elemento oposto: Para cada p em P[x], existe outro polinômio q=-p em P[x] tal que

p + q = 0

Com estas propriedades, a estrutura (P[x],+) é denominada um grupo comutativo.

Produto de polinômios

Sejam p, q em P[x], dados por:

p(x) = a_o + a₁x + a₂x² + a₃x³ +...+ a_nxⁿ
q(x) = b_o + b₁x + b₂x² + b₃x³ +...+ b_nxⁿ

Definimos o produto de p e q, como um outro polinômio r em P[x]:

r(x) = p(x)·q(x) = c_o + c₁x + c₂x² + c₃x³ +...+ c_nxⁿ

tal que:

c_k = a_ob_k + a₁b_k-1 + a₂ b_k-2 + a₃b_k-3 +...+ a_k-1 b₁ + a_kb_o

para cada c_k (k=1,2,3,...,m+n). Observamos que para cada termo da soma que gera c_k, a soma do índice de a com o índice de b sempre fornece o mesmo resultado k.

A estrutura matemática (P[x],·) formada pelo conjunto de todos os polinômios com o produto definido acima, possui várias propriedades:

Associativa: Quaisquer que sejam p, q, r em P[x], tem-se que:

(p · q) · r = p · (q · r)

Comutativa: Quaisquer que sejam p, q em P[x], tem-se que:

p · q = q · p

Elemento nulo: Existe um polinômio p_o(x)=0 tal que

p_o · p = p_o

qualquer que seja p em P[x].

Elemento Identidade: Existe um polinômio p₁(x)=1 tal que

p₁ · p = p

qualquer que seja p em P[x]. A unidade polinomial é simplesmente denotada por p₁=1.

Existe uma propriedade mista ligando a soma e o produto de polinômios

Distributiva: Quaisquer que sejam p, q, r em P[x], tem-se que:

p · (q + r) = p · q + p · r

Com as propriedades relacionadas com a soma e o produto, a estrutura matemática (P[x],+,·) é denominada anel comutativo com identidade.

Espaço vetorial dos polinômios reais

Embora uma sequência não seja um conjunto mas sim uma função cujo domínio é o conjunto dos números naturais, usaremos neste momento uma notação para sequência no formato de um conjunto.

O conjunto P[x] de todos os polinômios pode ser identificado com o conjunto S das sequências quase-nulas de números reais , isto é, as sequências da forma:

p = (a_o,a₁,a₂,a₃,a₄,...,a_n,0,0,0,...)

Isto significa que após um certo número natural n, todos os termos da sequência são nulos.

A identificação ocorre quando tomamos os coeficientes do polinômio

p(x) = a_o + a₁x + a₂x² + a₃x³ +...+ a_nxⁿ

e colocamos os mesmos entre parênteses e após o n-ésimo coeficiente colocamos uma quantidade infinita de zeros, assim nós temos somente uma quantidade finita de números não nulos, razão pela qual tais sequências são denominadas sequências quase-nulas.

Esta forma de notação

p = (a_o,a₁,a₂,a₃,a₄,...,a_n,0,0,0,...)

funciona bem quando trabalhamos com espaços vetoriais, que são estruturas matemáticas onde a soma dos elementos e a multiplicação dos elementos por escalar têm várias propriedades.

Vamos considerar S o conjunto das sequências quase-nulas de números reais com as operações de soma, multiplicação por escalar e de multiplicação, dadas abaixo.

Sejam p e q em S, tal que:

p = (a_o,a₁,a₂,a₃,a₄,...,a_m,0,0,0,...)
q = (b_o,b₁,b₂,b₃,b₄,...,b_n,0,0,0,...)

e vamos supor que m < n.

Definimos a soma de p e q, como:

p+q = (a_o+b_o,a₁+b₁,a₂+b₂,...,a_n+b_n,0,0,0,...)

a multiplicação de p em S por um escalar k, como:

k.p = (ka_o,ka₁,ka₂,ka₃,ka₄,...,ka_m,0,0,...)

e o produto de p e q em S como:

p·q = (c_o,c₁,c₂,c₃,c₄,...,c_n,0,0,0,...)

sendo que

c_k = a_ob_k + a₁b_k-1 + a₂b_k-2 + a₃b_k-3 +...+ a_k-1b₁+a_kb_o

para cada c_k (k=1,2,3,...,m+n).

O conjunto S com as operações definidas é: associativo, comutativo, distributivo e possui elementos: neutro, identidade, unidade, oposto.

Características do grau de um polinômio

Se gr(p)=m e gr(q)=n então

gr(p.q) = gr(p) + gr(q)
gr(p+q)<max{gr(p),gr(q)}

Algoritmo da divisão de polinômios

Dados os polinômios p e q em P[x], dizemos que q divide p se existe um polinômio g em P[x] tal que

p(x) = g(x) q(x)

Se p em P[x] é um polinômio com gr(p)=n e g é um outro polinômio com gr(g)=m<n, então existe um polinômio q em P[x] e um polinômio r em P[x] com gr(r)<gr(g), tal que:

p(x) = q(x) g(x) + r(x)

Um caso particular importante é quando tomamos g(x)=x-c e

p(x) = a_o + a₁x + a₂x² + a₃x³ +...+ a_nxⁿ

Como para todo k=1,2,3,...,n vale a identidade:

x^k-c^k = (x-c)( x^k-1 + cx^k-2 + c²x^k-3 +...+ c^k-2x+c^k-1 )

então para

p(x) = a_o + a₁x + a₂x² + a₃x³ +...+ a_nxⁿ

temos que

p(c) = a_o + a₁c + a₂c² + a₃c³ +...+ a_ncⁿ

e tomando a diferença entre p(x) e p(c), teremos:

p(x)-p(c) = a₁(x-c) + a₂(x²-c²) + a₃(x³-c³) +...+ a_n(xⁿ-cⁿ)

o que garante que podemos evidenciar g(x)=x-c para obter

p(x)- p(c)=(x-c) q(x)

onde q=q(x) é um polinômio de grau n-1. Assim, podemos escrever:

p(x)=(x-c) q(x)+p(c)

e é claro que r(x)=p(c) é um polinômio de grau 0.

Zeros de um polinômio

Um zero de um polinômio real p em P[x] é um número c, que pode ser real ou complexo, tal que p(c)=0. O zero de um polinômio também é denominado raiz do polinômio.

Uma consequência do Algoritmo da Divisão de polinômios é que:

x-c é um fator de p se, e somente se, r(x)=f(c)=0

o que é equivalente a:

c é um zero de p, sse, x-c é um divisor de p=p(x)

Equações Algébricas e Transcendentes

Uma equação algébrica real na variável x é uma relação matemática que envolve apenas um número finito de operações de soma, subtração, produto, divisão e radiciação de termos envolvendo a variável x.

Exemplos

1. 2x²+3x+7=0

2. 3x²+7x^½=2x+3

A função exponencial exp(x)=e^x pode ser escrita como um somatório com infinitos termos contendo potências de x:

e^x = 1 + x +x²/2! + x³/3! + x⁴/4! + x⁵/5! +...

assim, a equação

x²+7x=e^x

não é uma equação algébrica, o que equivale a dizer que esta equação é transcendente.

Quando a equação é da forma:

p(x) = 0

onde p é um polinômio real em P[x], ela será chamada equação polinomial.

Quando uma equação possui a variável sob um sinal de radiciação ela é chamada equação irracional.

Exemplo: 2x²+3x+7 =0 e 3x²+7x^½=2x+3 são equações algébricas. A primeira é polinomial, mas a segunda não é polinomial. Esta segunda é uma equação irracional.

Observação: Uma equação algébrica irracional sempre poderá ser colocada na forma de uma equação polinomial. Quando uma equação algébrica irracional é transformada em uma equação polinomial, as raízes da nova equação poderão não coincidir com as raízes da equação original e as raízes obtidas desta nova equação que não servem para a equação original são denominadas raízes estranhas.